Allais Paradoxon Beispiel Essay

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1. Einleitung

2. Abgrenzungen und Axiome der Erwartungsnutzentheorie
2.1 Abgrenzungen der Erwartungsnutzen- und Nutzentheorie
2.2 Axiomatische Grundlagen und Rationalität

3. Modellierung des Allais Paradoxon
3.1 Experimenteller Aufbau des Paradoxon
3.2 Erläuterung des Paradoxon
3.3 Kritik von M. Allais

4. Fortführung des Denkansatzes und Lösungsansätze des Allais Paradoxon
4.1 Erläuterung des Paradoxon nach Morrison
4.2 Ansatz der Initial Asset Position
4.3 Konsistenz der Präferenzentscheidungen

5. Schlussbetrachtung

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1 Lotteriepaare des Allais Paradoxon

Abb. 2 Indifferenz-Wert π

Abb. 3 Substitution von Ci

Abb. 4 Vollständige Substitution des Allais Beispiels

Abb. 5 Lotteriepaare mit Initial Asset Position

Abb. 6 Annahmen zu Lösung der Inkonsistenz

Abb. 7 Ansatz zur Lösung der Inkonsistenz im Allais Paradoxon

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1 Überblick nach Aufgliederung der Wahrscheinlichkeiten

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Allais Paradoxon

1 Einleitung

Entscheidungssituationen begegnen uns Tag für Tag unter zahlreichen, verschiedenen Umständen. Oft sind diese nicht sicher, sondern mit Risiko behaftet. In der Regel sind die Menschen bestrebt ihre Entscheidung so zu treffen, dass sie einen größtmöglichen Nutzen daraus ziehen. Da eine richtige rationale Entscheidung oft von vielen Faktoren abhängig ist, die uns überfordern kann, wurden zahlreiche Theorien zur Entscheidungshilfe entwickelt. Im Zusammenhang mit Entscheidungssituationen unter Risiko beschäftigen wir uns in dieser Arbeit einerseits mit dem dazu in den fünfziger Jahren entwickelten Erwartungsnutzenkalkül und anderseits mit einer klassischen Entscheidungsanomalie: dem Allais Paradoxon. Wir bedienen uns dabei der Idee eines Lotteriebeispiels, in dem unsere Entscheidungen unser komplettes Leben verändern könnten.

Inhalt und Ziel dieser Arbeit:

Kapitel 2.2 soll ein Überblick über die Erwartungsnutzentheorie (EUT) geben und deren wichtigste Axiome vorstellen. In 2.3 werden wir das Allais Paradoxon betrachten, bevor wir es in 2.3.2 genauer erläutern. In 2.3.3. sei das Allais Position und die Kritik zur Erwartungsnutzentheorie genauer untersucht. Kapitel 2.4 beginnen wir mit einer weiteren Erläuterung des Paradoxons wie sie Morrison darstellt. Damit schaffen wir die Grundlagen, seinen Lösungsansatz in 2.4.2 zu verstehen und zeigen eine andere Betrachtungsweise des Allais Paradoxons. In Kapitel 2.4.3 werden die in 2.4 gemachten Erkenntnisse präsentiert und dem inkonsistenten Entscheider eine Argumentationsweise vorgeschlagen.

Ziel ist es zu begründen, ob das Paradoxon nun auf die Irrationalität der Entscheider zurückzuführen ist oder ob die EUT in ihrer Ausführung unvollständig ist. Außerdem soll die Konsistenz der Präferenzentscheidungen der Entscheider im Allais Paradoxon bewiesen werden.

2 Abgrenzungen und Axiome der Erwartungsnutzentheorie

2.1 Abgrenzungen der Erwartungsnutzen- und Nutzentheorie

Die EUT ist als eine Teildisziplin der Nutzentheorie und der Entscheidungstheorie zu betrachten. Die Nutzentheorie machte einen großen Fortschritt, als aus der bisher vorherrschenden ordinalen Nutzenfunktion der kardinale Nutzen abgeleitet wurde. Eine ordinale Nutzenfunktion kann über den Nutzen zweier Konsequenzen (z.B. einer Lotterie) lediglich die Aussage treffen, welche dieser Konsequenzen einen höheren Nutzen hat. Der kardinale Nutzen hingegen ermöglicht nun eine Quantifizierung dieser Konsequenzen. Dies wird üblicherweise anhand der Präferenzen, die ein Entscheider bei einer oder mehreren Lotterien für die jeweiligen Konsequenzen hat, gemessen. Daraus lässt sich dann der kardinale Erwartungsnutzen (EU) ableiten.

Das Gerüst dieses Erwartungsnutzenkalküls, basiert auf dem von Von Neumann und Morgenstern (VNM) aufgestellten Axiomsystem und dem daraus abgeleiteten Präferenzkalkül. Die ersten Wege der Theorie wurden allerdings schon knapp zweihundert Jahre zuvor von Daniel Bernoulli, durch das so genannte St. Petersburg Spiel, geebnet. Bernoulli definierte daraus eine logarithmische Wertfunktion[1],[2], die heute auch als Bernoulli-Nutzenfunktion bekannt ist. Folglich muss die Nutzenfunktion einen konkaven Verlauf beschreiben. Der Begriff des EU war geboren und die Orientierung an einem reinen monetären Erwartungswert abgelöst. Bevor wir das Axiomsystem von VNM genauer betrachten, erläutern wir nun kurz die Erwartungsnutzenfunktion[3]:

EU(a) ist definiert als der Erwartungsnutzen über die riskante Alternative a. Die Wahrscheinlichkeiten pi gelten als bekannt und objektiv[4]. Die Nutzenfunktion sei u. Diese können verschiedener Art sein und weichen je nach Risikoeinstellung voneinander ab. In der EUT wird von risikoaversen Entscheidern ausgegangen[5],[6]. Die Erwartungsnutzenfunktion modelliert somit den Nutzen einer Lotterie, woraus sich schließen lässt, dass eine Lotterie einer anderen Lotterie dann vorgezogen wird, wenn ihr EU größer ist. Natürlich ist dies nicht nur auf Lotterien anwendbar sondern allgemeingültig für verschiedene Konsequenzen einer risikobehafteten Alternativenwahl.

2.2 Axiomatische Grundlagen und Rationalität

Die Axiome bilden die zentralen Bausteine der EUT. Das von VNM Axiomsystem[7] wurde zwar von den selbigen hergeleitet[8], jedoch von anderen Autoren vervollständigt[9]. Darum ist in ihrem Buch Spieltheorie und Wirtschaftliches Verhalten eigentlich kein Hinweis auf ein Unabhängigkeitsaxiom, denn dieses wurde aus ihren Axiomen erst abgeleitet. Die wichtigsten Axiome der Erwartungsnutzentheorie seien hier in Anlehnung an Herstein und Milnor zusammengefasst[10]:

1) Vollständige Ordnung

Vollständigkeit: Für jedes Paar von Lotterien a, b A gilt: a b oder a b.

Transitivität: Für alle Lotterien a, b, c A gilt: Aus a b und b c folgt a c.

Das Axiom fordert, dass die Präferenzordnung transisitiv ist, sowie Vergleichbarkeit von Lotterien.

2) Stetigkeit:

Die Lotterien a, b, c sind mit a b c gegeben, dann existiert eine Wahrscheinlichkeit p, bei der .

Der Ausdruck soll als zusammengesetzte Lotterie verstanden werden. Somit kann das Ergebnis einer Lotterie wieder eine Lotterie sein. Das Axiom impliziert, dass für die Lotterie b, die zwischen a und c liegt, immer eine Kombination a und c gefunden werden kann, die genauso gut ist wie b. Dieses Axiom wird in 2.4.1 zur Anwendung kommen und im konkreten Beispiel genauer erläutert. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit p durch einen Indifferenz-Wert π ergänzt, wodurch die Indifferenz zweier Lotterien hergestellt werden soll.

3) Unabhängigkeit:

Es gelte für zwei Lotterien a b, so muss für alle Lotterien c und die Wahrscheinlichkeiten p folgendes gelten:

Die Präferenz zwischen zwei möglichen Lotterien (a;b) darf sich nicht, durch die Verknüpfung dieser Lotterien mit einer weiteren Lotterie (c), ändern. Allgemein bedeutet dies, dass eine zusätzliche Konsequenz die Präferenz der ursprünglichen Konsequenzen nicht verändert. Das Unabhängigkeitsaxiom wird auch als Substitutionsaxiom[11] bezeichnet, wofür die gleichen, oben genannten Abhängigkeiten gelten. In diesem Sinne gilt: es ergeben sich keine Auswirkungen für die Präferenzen des Entscheiders, wenn eine Lotterie (oder eine Konsequenz) durch eine andere Lotterie substituiert wird, solange der Entscheider zwischen ihnen indifferent ist. Das von Savage aufgestellte Unabhängigkeitsaxiom (auch Sure thing principle genannt) unterscheidet sich im Vergleich zum hier vorgestellten leicht.[12] Savage entwickelte eine subjektive EUT (SEU-Theory), die subjektive Wahrscheinlichkeiten verwendet[13]. Dies sei hier angemerkt, da Allais ursprünglich dieses Axiom in seinem Paradoxon wiederlegte. Die Art der Wahrscheinlichkeit ist dafür jedoch irrelevant.

Für die Rationalität im Sinne der EUT gilt: Erkennt ein Entscheider die Axiome als Grundlage seiner Entscheidung an, so muss er diese einhalten und seinen EU maximieren, um sich rational zu Verhalten.[14]

3 Modellierung des Allais-Paradoxon

3.1 Experimenteller Aufbau des Allais Paradoxon

M. Allais hat das Paradoxon als: „Les choix aléatoires au voisinage de la certitude mettant en échec le principe d‘indépendance de Savage“.[15] Es dient gezielt der Widerlegung von Savage's axiomatischer Ausführung des Unabhängigkeitsaxioms. Dies ist heute allerdings in zahlreichen Ausführungen und numerischen Beispielen allgemein unter dem Allais Paradoxon (Abb.1[16]) bekannt. Allais formulierte ein Problempaar, das hier anhand eines Lotteriemodells dargestellt werden soll[17]. Es sind zwei Situationen S(I) und S(II) gegeben. Die Testpersonen müssen eine Präferenz für jeweils eine der zwei Lotterien bekannt geben. Auf den Lotteriesträngen, der einzelnen Lotterien ist die jeweilige Wahrscheinlichkeit (p), der dahinter stehenden Konsequenzen aufgetragen. Nach Allais Untersuchungen und später folgenden Experimenten wählen die meisten Testpersonen in S (I) (vgl. Abb.1) die Lotterie X, die einen sicheren Gewinn von 1Mio. Euro verspricht. Die Lotterie Y ermöglicht zwar zu einer 10% Chance einen höheren Gewinn von 5Mio. Euro, jedoch besteht die Gefahr, wenn auch nur zu einer Wahrscheinlichkeit von 1%, leer auszugehen. Werden die Testpersonen die in (I) eine Präferenz für X angegeben haben, nun in der weniger attraktiven Situation (II) nach ihrer Wahl gefragt, bevorzugen viele die Lotterie Y*.

[...]



[1] Vgl. Eisenführer, Weber (1999) S. 99 Definition 5.1

[2] Bernoulli geht von einem abnehmenden Grenznutzen des Geldes aus. Daraus leitet er den logarithmischen Verlauf ab.

Vgl. Kathrin Fischer (2004) S.32

[3] Vgl. Eisenführer, Weber (1999) S.211 Gleichung (9.3)

[4] Die Wahrscheinlichkeiten sind objektiv bekannt und beruhen nicht auf subjektiven Schätzungen.

[5] Vgl. Kahneman, Tversky (1979) S.264

[6] Als Maß für die Risikoeinstellung wird heute, das nach den Autoren benannte, Arrow-Pratt-Maß verwendet.

[7] Ein Axiomsystem stellt die unabdingbaren Forderungen: widerspruchsfrei, unabhängig und vollständig zu sein. Vgl. Heilig (1977)

[8] Vgl. Von Neumann, Morgenstern

[9] Vgl. Kugel, Roth (1997) S.619

[10] Vgl. Herstein und Milnor (1953) S.291-297 und Eisenführer, Weber (1993) S.212-217

[11] Eine ausführliche Erläuterung der Substituierbarkeit bietet auch Raiffa (1973) S.82-83

[12] Vgl. z.B. Allais (1953) S.515 oder Eisenführer, Weber (1993) S.220-221

[13] Vgl. Kugel, Roth (1997) S.644

[14] Vgl. Eisenführer, Weber (1999) S.223

[15] Allais (1953) S.525

[16] Das Allais Paradoxon in Abb.1 ist in Darstellung, Wertmäßigkeit der Gewinne und Währung abweichend vom Original.

Vgl. z.B. Allais (1953) S.527

[17] Vgl. Allais (1953) S.525-529

Das Allais-Paradoxon (nach Maurice Allais[1]) ist ein experimentell beobachtbarer Verstoß gegen das Unabhängigkeitsaxiom (engl. common consequence effect, CCE) der wirtschaftswissenschaftlichenEntscheidungstheorie. Dieses besagt, dass die Hinzu-/Wegnahme von gemeinsamen Konsequenzen einer Entscheidung die Präferenz des Entscheiders nicht verändern darf.

Aufbau des Experiments[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Grundaufbau des Experiments besteht darin, dass Versuchspersonen zweimal hintereinander aus jeweils zwei Lotterien wählen:

Auswahl 1:

Das heißt: Man gewinnt 2500 Geldeinheiten (GE) mit 33 % Wahrscheinlichkeit, 2400 GE mit 66 % Wahrscheinlichkeit, mit 1 % Wahrscheinlichkeit geht man leer aus.

Dies bedeutet einen sicheren Gewinn von 2400 GE.

Auswahl 2

Dieselben Personen haben danach eine weitere Auswahl zu treffen:

,

also 2500 GE mit 33 % Wahrscheinlichkeit, ansonsten nichts.

,

also 2400 GE mit 34 % Wahrscheinlichkeit, ansonsten nichts.

Die vier Lotterien in einer Tabelle zusammengefasst:

Wahrsch./Gewinn Lotterie a Lotterie b Lotterie a' Lotterie b'
0,66 2400 2400 0 0
0,33 2500 2400 2500 2400
0,01 0 2400 0 2400

Die Entscheidungssituation zwischen a und b und die zwischen a' und b' unterscheidet sich nur dadurch, dass bei den Ersteren eine hohe Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von 2400 besteht, die bei Letzteren nicht besteht (über diese wird aber gar nicht entschieden, sie bildet nur das 'Umfeld'). Ansonsten sind die Situationen gleich. Nach dem Unabhängigkeitsaxiom sollte der Inhalt der ersten Zeile keinen Einfluss auf das Entscheidungsverhalten haben.

Auswertung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Mehrzahl der Versuchspersonen wählt im Experiment b und a' , haben also die Präferenzen a < b und a' > b' .

bedeutet:

bedeutet:

Diese beiden Ungleichungen lassen sich umformen zu:

und

,

zwei sich widersprechenden Aussagen.

Dieser Widerspruch lässt sich dadurch erklären, dass bei der ersten Entscheidung zwischen und die Wahrscheinlichkeiten im Vordergrund stehen, wobei sich diese bei der Entscheidung zwischen und kaum unterscheiden und die Gewinne als entscheidendes Kriterium verwendet werden.

Das Experiment von Allais, veröffentlicht 1953, stellt ein frühes Beispiel für den Einsatz experimenteller Methoden zum Erkenntnisgewinn in den Wirtschaftswissenschaften dar und trug zur Entwicklung der Experimentellen Wirtschaftsforschung bei.

Erklärung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die psychologische Erklärung dieses irrationalen Verhaltens liefert der Sicherheitseffekt, ein Aspekt der Prospect Theory von Amos Tversky und Daniel Kahneman. Kahneman gibt folgendes Beispiel:[2]

Auswahl 1

0.61 Wahrscheinlichkeit, $520.000 zu gewinnen, oder 0.63 Wahrscheinlichkeit, $500.000 zu gewinnen

Hier entscheiden sich die meisten Befragten für die erste Option, da der Unterschied von $20.000 mehr Eindruck macht, als der Wahrscheinlichkeits-Unterschied von 0.02. Auch rechnerisch ist dies die rationale Entscheidung, denn die Erwartungswerte der beiden Optionen sind 317.200 versus 315.000.

Nun erhöht man bei beiden Optionen die Gewinnwahrscheinlichkeit um 0.37 und bietet folgende Lotterien an:

Auswahl 2

0.98 Wahrscheinlichkeit, $520.000 zu gewinnen, oder sicheren Gewinn (Wahrscheinlichkeit 1) von $500.000.

Obwohl der erwartete Nutzen der ersten Option jetzt noch größer ist als vorher, wechseln die meisten Befragten nun paradoxerweise zur zweiten Option. Nun überwiegt als Entscheidungskriterium die Gewissheit des kleineren Gewinns; es greift der Sicherheitseffekt. Die Erwartungswerte der beiden Optionen lauten nun 509.600 versus 500.000. Gegenüber der Auswahl 1 hat sich der Erwartungswert der ersten Option von Auswahl 2 um 192.400 erhöht, derjenige der zweiten Option nur um 185.000.

Alternativerklärungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die einfache Heuristik "Take the Best" (siehe Gerd Gigerenzer) liefert eine plausible Erklärung, die ohne die mentale Berechnung von Wahrscheinlichkeiten auskommt.[3] "Take the Best" lässt sich so zusammenfassen: Nimm das beste Kriterium und entscheide – wenn sich kein relevanter Unterschied ergibt, nimm das zweitbeste, und so weiter.

Auf das Allais-Paradoxon angewendet bedeutet dies: Beim Vergleich zwischen a und b wird die Wahrscheinlichkeit als Kriterium benutzt, beim Vergleich zwischen a' und b' dagegen der zu erwartende Gewinn.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. ↑M. Allais: Le comportement de l’homme rationnel devant le risque: critique des postulats et axiomes de l’école Américaine. In: Econometrica. 21, Nr. 4, 1953, S. 503–546.
  2. ↑Daniel Kahneman (2011): Thinking, fast and slow, Allen Lane Paperback, ISBN 978-1-846-14606-0, S. 312 ff.
  3. ↑John D. Lee und Alex Kirlik (2013): The Oxford Handbook of Cognitive Engineering, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-975718-3, S. 495

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